التفاضل والتكامل

ما هو التفاضل والتكامل؟ إنه أحد أفرع الرياضات، يهتم بدراسة خواص التوابع العددية مثل النهايات والاستمرار والاشتقاق والتكامل التي سنتحدث عنها تباعاً، ويأتي الاسم من اللغة اللاتينية (Calculus) الذي يعني حرفياً "الحسبان".

يمكن القول باختصار أن التفاضل هو إيجاد معدل التغير في التابع (الدالّة)، مثل إيجاد معدل تغير موضع جسم متحرك خلال زمن الذي يعطينا السرعة

أما التكامل فهو العملية المعاكسة، أي إيجاد التابع من معدّل التغير، مثل حساب مكان جسم عند معرفة تغير موضعه خلال الزمن (السرعة).

*التابع هو علاقة تربط بين متغيرين، بحيث نستطيع تتبع الطريقة التي تتغير فيها قيم أحدهما خلال تغير القيمة الأخرى، على سبيل المثال يمكن تتبع تغير مساحة سطح مربع خلال تغير طول ضلعه وفق العلاقة:

حيث أن:

1. x هو طول الضلع.
2. (f(x هو مساحة المربع

إذ تختلف قيمته كل مرة مع اختلاف قيمة x.

مثال حول استخدام التفاضل والتكامل

السقوط الحر

في الفيزياء تعطى معادلة السقوط الحر دون وجود تأثير مقاومة الهواء بالشكل:

• حيث أن (y(t تعبر عن الارتفاع عن سطح الأرض في كل لحظة (t).
• وكي نحصل على سرعة الجسم الساقط سقوطاً حراً نعود لتعريف السرعة: تغير الموضع (المكان) خلال الزمن، أي أننا سنقوم بمفاضلة هذه العلاقة بالنسبة للزمن (حساب التغير بالنسبة للزمن). بالتالي تنتج المعادلة التالية التي تمثل السرعة:

• حيث أن (v(t هي السرعة في كل لحظة من الزمن t.
• أما لحساب التسارع الذي هو مقدار تغير السرعة خلال الزمن، أيضاً نقوم بمفاضلة علاقة السرعة بالنسبة للزمن لتنتج المعادلة التالية:

• حيث أن (a(t هو التسارع في لحظة ما t.

ونستطيع أن نلاحظ من العلاقة الأخيرة أنه في حال السقوط الحر فالتسارع قيمة ثابتة (g=9.81 m/s2)، وهذه القيمة تسمى تسارع الجاذبية الأرضية.

بالطبع يمكننا حساب على سبيل المثال معادلة الحركة (المعادلة الأولى) من معادلة السرعة عبر حساب التكامل لها، وبشكل عام عند وجود أي من هذه المعادلات الثلاث يمكن حساب كافة المعادلات اللازمة للدراسة الحركية للجسم مهما كانت حركته، إما عن طريق التفاضل أو عن طريق التكامل.

استخدام التكامل والتفاضل خلال حياتنا اليومية

يعتبر علم التفاضل والتكامل من أهم العلوم لدى الانسان ومرتبطة بحياته بشكل مباشر مثل الفيزياء والميكانيك والهندسة والاقتصاد والطب وغيرها الكثير، ويمكن القول أنه لا يوجد تقريباً علم إلا ويستخدم تطبيقات من التفاضل والتكامل، ومن أهم هذه التطبيقات:

• حساب أطوال المنحنيات، مساحات السطح لأي سطح كان، والحجوم؛ وكل ذلك بدقة كبيرة من خلال تقسيم الشكل لعدد غير منتهي من التغيرات (تغيرات الطول والمساحة والحجم) الصغيرة جداً ومن ثم مكاملتها.
• حساب التوزيعات الاحتمالية المنتظمة والتي يمكن رؤيتها في الفيزياء وحتى في علم الأحياء، كحساب انتشار جراثيم في وسط معين تحت ظروف بيئية معينة.
• حل المعادلات التفاضلية وتطبيقاتها مثل النواسات (بيندول) والدارات الكهربائية والحقول الكهرومغناطيسية، حيث يمكن رؤيتها بوضوح في معادلات ماكسويل الأربعة.
• حساب الثوابت في الرياضيات مثل الثابت "باي" (π)، أو قيمة العدد النيبري (e) بدقة كبيرة جداً.
• علم الأدوية من خلال دراسة واختبار تأثير دواء ما على عينة من المصابين بمرض معين، بعدها تعميم النتائج بعد تحقيق ثقة دقيقة من فعالية الدواء، من خلال مقاييس إحصائية، ثم اتخاذ القرار بتصنيع هذا الدواء أو والبحث ودراسة دواء آخر.
• في صناعة السيّارات نستطيع عن طريق التكامل أن نحدّد بدقة مركز ثقل السيارة ومحورها المركزيّ، ممّا يساعد على تحديد سرعة السيّارة وعوامل الأمان الأخرى.
• الهندسة المدنيّة والمعماريّة حساب مساحات المباني ذات الأشكال الهندسيّة غير التقليدية، لمعرفة متطلبات هذه المباني من موادَّ للتصنيع والإكساء.

نهايةً.. إن أردنا إحصاء المجالات التي يدخل فيها علم التفاضل والتكامل فلن ننتهي بساعات، ولكن يمكن القول أنه السبب في انطلاق الثورة العلمية التي بدورها أدّت للثورة الصناعية والمعلوماتيّة.